Volvamos a la flota de cien bicicletas. Mientras solo hay tres estaciones, el número de vehículos disponibles se conserva. Podemos discutir si están bien repartidos, pero ninguno desaparece. Esa comodidad termina en cuanto admitimos que una bicicleta puede averiarse.
Añadimos un cuarto estado, T: fuera de servicio, esperando reparación. No es una estación donde recoger una bicicleta. Contarla como disponibilidad sería un error, aunque forme parte del total de la flota.
Un equilibrio que no conviene celebrar
Supongamos una probabilidad de avería del 5 % en cada transición para cualquier bicicleta operativa. El 95 % restante se reparte entre estaciones con las probabilidades de la primera parte. Si no reparamos nada, una bicicleta que entra en T permanece allí: T es un estado absorbente.
No hay vehículos nuevos ni bajas definitivas. Las cien bicicletas siguen contabilizadas, pero cada vez menos están utilizables. Como el riesgo de avería es el mismo en todas las estaciones, la disponibilidad esperada tras t pasos es 100 × 0,95^t.
Después de veinte transiciones queda aproximadamente 35,85 % de la flota operativa. No es una estimación de una empresa ni una tasa observada: es la consecuencia exacta de nuestra hipótesis. Si mantenemos indefinidamente ese modelo, la disponibilidad tiende a cero.
El sistema tiene una distribución estacionaria: toda la masa en el taller. Matemáticamente está en equilibrio. Para un servicio de movilidad, no sirve. Este es el motivo por el que no interpretaría «estable» como sinónimo de «bueno» sin preguntar qué significan los estados.
La reparación cambia la historia
Ahora permitimos que una bicicleta en T vuelva a estar disponible con probabilidad r por periodo. Para estudiar únicamente disponibilidad podemos agrupar A, B y C en un estado operativo O. En este ejemplo esa agrupación es válida porque todas las estaciones comparten el mismo riesgo de avería; no lo sería automáticamente si cada una tuviera una tasa distinta.
Las transiciones entre los dos estados son:
| Origen → destino | O | T |
|---|---|---|
| O | 0,95 | 0,05 |
| T | r | 1 − r |
En el equilibrio, el flujo esperado que se avería debe igualar el que se repara. Si q es la fracción operativa, tenemos 0,05q = r(1 − q). Al despejar, q = r / (r + 0,05).
Con r = 0,10, el límite es dos tercios de la flota. Con r = 0,30, aproximadamente el 85,71 %. No hemos demostrado que triplicar un presupuesto de mantenimiento produzca esa mejora. r es una probabilidad de transición; para relacionarla con personas, turnos o dinero necesitamos otro modelo y datos.
import numpy as np
for repair in [0., .1, .3]:
P = np.array([[.95, .05], [repair, 1 - repair]])
x = np.array([1., 0.])
for _ in range(20):
x = x @ P
print(repair, round(x[0] * 100, 2))Ese código devuelve disponibilidad esperada después de veinte pasos, no necesariamente el límite. Confundir ambos valores es fácil si el gráfico parece haberse aplanado. También es importante que «probabilidad de reparación» no represente un número fijo de reparaciones diarias: un taller con capacidad limitada no repara automáticamente una fracción constante de cualquier cola.
El límite existe bajo condiciones, no por costumbre
La cadena de tres estaciones de la primera parte tiene entradas positivas. En ese caso, en un espacio finito, podemos esperar una distribución estacionaria única y convergencia hacia ella. Una cadena general no tiene por qué comportarse igual.
Piensa en dos estaciones donde todas las bicicletas cambian obligatoriamente de una a otra en cada paso. El reparto puede alternar indefinidamente. Existe un reparto estacionario de mitad y mitad, pero empezar con todas en una estación no converge a él. Tener una solución de πP = π no demuestra que cualquier trayectoria de distribuciones llegue a ella.
Tampoco todas las partes de un sistema tienen por qué comunicarse. Si hay dos grupos de estados aislados, el reparto de largo plazo puede depender de dónde empezamos. Por eso conviene revisar accesibilidad, clases cerradas y periodicidad antes de anunciar una «predicción final». Puedes contrastar estas propiedades en el texto abierto de probabilidad de Grinstead y Snell, en el capítulo sobre cadenas de Markov.
Del modelo a una decisión de mantenimiento
El siguiente paso útil no sería añadir más decimales. Sería preguntar si los estados representan el servicio que queremos gestionar. ¿Todas las averías requieren el mismo trabajo? ¿El taller tiene capacidad suficiente? ¿Cambia la demanda los fines de semana? ¿Mover bicicletas vacías de una estación a otra también tiene coste?
Separaría primero disponibilidad y distribución. Tener ochenta bicicletas operativas no significa que estén donde hacen falta. Después compararía los escenarios con un horizonte concreto: una decisión de mañana no se justifica únicamente con un límite a largo plazo.
Eso es lo que me interesa de estos modelos: no prometen describir todo el mundo, pero convierten supuestos en consecuencias visibles. A veces la consecuencia más útil es descubrir que el equilibrio que buscábamos era, en realidad, el problema.
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